1. Свойство упорядоченности

Лекция 2

4.Вещественные числа

1. Свойство упорядоченности

a, b или a < b или a = b или a > b

1.1 a < b, b < c  a < c ( свойство транзитивности )

( a < b ) либо ( a = b ) , то пишут a  b

2. Характеристики операции сложения (a,b  a+b)

    1. a + b 1. Свойство упорядоченности = b + a (коммутативность)

( поточнее было бы написать a:( b: a + b = b + a) )

2.2 a + ( b + c ) = ( a + b ) + c (ассоциативность)

2.3 0, a  R : a + 0 = a

2.4 a  обратный - a : a + (-a) = 0

2.5 a < b  a + c < b + c 1. Свойство упорядоченности ,( c )

3. Характеристики операций умножения (a,b  ab)

3.1 a b = b a (коммутативность)

3.2 a ( b c ) = ( a b ) c (ассоциативность)

3.3 1, a  R : 1 a = a

3.4 a0a-1(оборотный ): a a-1 = 1

3.5 a < b и c > 0 a c < b 1. Свойство упорядоченности c

a < b и c < 0 a c > b c

4. Связь операций

4.1 ( a + b ) c = a c + b c ( дистрибутивность )

Определение

| a | =

Характеристики | a + b |  | a | + | b |, | | a | - | b | |  | a – b |

5. Свойство Архимеда

a nN: n > a

Следствие 1. Свойство упорядоченности: a>0 b nZ: na > b

6. Свойство непрерывности вещественных чисел либо Принцип вложенных отрезков.

Сначала некие определения.

^ Отрезок либо сектор - [a,b]={x:axb}, b-a - длина

Система вложенных отрезков. Система 1. Свойство упорядоченности отрезков {[aj,bj]} именуется системой вложенных отрезков, если  j: [aj+1,bj+1][aj,bj] .

Принцип вложенных отрезков. Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, общее для всех отрезков. Огромное количество частей, удовлетворяющее 1. Свойство упорядоченности свойствам 1 - 6 именуется обилием вещественных чисел и обозначается R. Числовая ось - изображение реальных чисел. Употребляется геометрическая терминология “точки”.

Определение. Система отрезков стягивается к 0, если

>0 N n>N: bn-an < 


Лемма Кантора. Для всякой 1. Свойство упорядоченности системы вложенных стягивающихся к нулю отрезков [aj,bj] существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам данной системы.

Подтверждение. Одно существует по свойству 6, к примеру, x. Пусть есть другое, к примеру, y и x 1. Свойство упорядоченности < y. Тогда

an  x < y  bn n: y – x  bn - an.

Возьмем  = y – x.  N, n > N: bn - an < , что противоречит предшествующему неравенству.


§2. Всеохватывающие числа

1. Определение всеохватывающего числа

Рассматривается огромное количество упорядоченных пар z = (x 1. Свойство упорядоченности, y). 1-ое число из таковой пары именуется вещественной часть и обозначаются x = Re z, 2-ое число именуется надуманной частью y = Im z.

В этом огромном количестве два объекта равны z1 = z2  { Re z 1. Свойство упорядоченности1 = Re z2, Im z1 = Im z2 }.

Геометрическая интерпретация. z можно интерпретировать, как радиус вектор в точку (x,y).

В этом огромном количестве определяются две операции:

Сложение z = (x,y), w 1. Свойство упорядоченности = (u,v), z + w = (x + u,y + v).

Умножение zw = ( xu – yv, xv + yu).

Это огромное количество с такими операциями именуется обилием всеохватывающих чисел и обозначается C (всеохватывающая плоскость).

^ 2. Характеристики всеохватывающих чисел

Ниже перечисленные характеристики 1. Свойство упорядоченности проверяются исходя из определения операций сложения и умножения всеохватывающих чисел.

1) z1 +z2 = z1 + z2

2) z1 +( z2 + z3) = (z1 + z2) + z3

3) = (0, 0), z + = z

4) zC-z=(-x,-y):z+(-z)=

Можно обосновать

Аксиома. - единственный 1. Свойство упорядоченности, обратный для z также единственен.

5) z1 z2 = z2 z1

6) z1 ( z2 z3) = (z1 z2) z3

7) Для =(1,0) и z: z = z

8) zz-1: z z-1 =

Существование оборотного числа. z=(x,y). Будем находить число 1. Свойство упорядоченности z-1=(u,v), удовлетворяющее необходимым свойствам: xu-yv=1,yu+xv=0 (z z-1 = ). Решая эту систему получим u=x/(x2+y2),v=-y/(x2+y2).

Личное 2-ух всеохватывающих чисел определяется по формуле w 1. Свойство упорядоченности/z=wz-1.

9) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

3. Алгебраическая форма записи

Разглядим отображение c(x) из R в C: , где xR,. Огромное количество всеохватывающих чисел (x,0), обозначим . Отображение c(x 1. Свойство упорядоченности) взаимно-однозначно, при этом

  1. c(x+y) = c(x)+c(y)

  2. c(xy) = c(x)c(y)

  3. c(0) =

  4. c(1) =

Следствие: c(-x)=-c(x), c(x-1)=c(x)-1 либо c(1/x)=1/c(x).

Эти 1. Свойство упорядоченности характеристики позволяют отождествлять числа с вещественными числами x. В предстоящем волну будем опускать. Огромное количество чисел (x,0) именуется вещественной осью.

Надуманная единица. По определению считают i=(0,1).

Отметим, что x+iy=(x,0)+(0,1)(y,0)=(x 1. Свойство упорядоченности,y)=z , таким макаром z=(x,y)=x+iy. Представление всеохватывающего числа z=(x,y)=x+iy именуется алгебраической формой записи всеохватывающего числа. Огромное количество чисел (0,y)=iy именуется надуманной 1. Свойство упорядоченности осью.

4.Модуль и аргумент всеохватывающего числа. Всеохватывающее сопряжение. Тригонометрическая форма записи всеохватывающих чисел.

Некие определения и характеристики

z=(x,y),

^ Определение аргумента всеохватывающего числа

Основным значением аргумента всеохватывающего числа именуется угол меж положительным направлением вещественной 1. Свойство упорядоченности оси и радиус вектором всеохватывающего числа, лежащий в спектре (-,]. Главное значение аргумента обозначается arg z. Аргумент всеохватывающего числа Arg z = arg z +2k. Если всеохватывающее число не лежит на надуманной оси 1. Свойство упорядоченности, то arg z = arctg y/x для первой и четвертой четвертей, arg z = +arctg y/x для 2-ой четверти, arg z = -+arctg y/x для третьей четверти.

Тригонометрическая форма представления всеохватывающего числа

z = x 1. Свойство упорядоченности + iy = r( cos  + i sin  ), (1)

где =Arg z.

Формулы Эйлера. Введем обозначения

ei = cos  + i sin , откуда следует, что cos  = ( ei+e-i)/2, sin  = ( ei-e-i)/2.

Замечание. Определение всеохватывающего числа ez в общем случае 1. Свойство упорядоченности дается в курсе теории функций всеохватывающего переменного.

Характеристики знака ei. Конкретно из определения следует

ei(+) = ei ei, (ei)n=ein

Таким макаром

z = rei (2)

(1) и (2) - тригонометрические формы записи всеохватывающего числа

5. Формула Муавра

zn=rnein 1. Свойство упорядоченности=rn( cos n + i sin n) (3)

Доказывается индукцией по n. Решим уравнение

zn=w, z = rei, w = ei

Имеем rnein=ein=+2k,kZ,r=. Формулы



употребляются для вычисления корней из всеохватывающего 1. Свойство упорядоченности числа.

Замечание: Знаки сопоставления не определены в C.

1-slushajte-povest-lyubvi-v-prostote-slu-shajte-divnij-rasskaz-bog-nas-naveki-pros-til-vo-hriste-bog-nas-ot-gibeli-spas-stranica-6.html
1-smuta-1917-1922-gg-11-fevralskaya-revolyuciya-23-fevralya-2-marta-1917-g.html
1-socialnaya-antropologiya-kak-nauchnaya-disciplina-obekt-issledovaniya-i-predmetnoe-pole.html